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마르코프 결정 과정(MDP)의 전이확률: 지능형 에이전트 모델링의 핵심 요소

GilliLab IT 2025. 4. 11. 01:17
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마르코프 결정 과정(MDP)의 전이확률: 지능형 에이전트 모델링의 핵심 요소

강화학습과 의사결정 모델링에서 전이확률(Transition Probability)은 가장 기본적이면서도 핵심적인 개념입니다. 특히 [state=s, action=a 일 때, state=s'가 될 확률]은 지능형 에이전트의 행동이 환경에 어떤 영향을 미치는지 수학적으로 정의하는 중요한 구성 요소입니다.

1. 전이확률의 개념과 정의

전이확률은 마르코프 결정 과정(Markov Decision Process, MDP)에서 핵심적인 요소로 보통 P(s'|s,a) 또는 T(s,a,s') 로 표기합니다.

  • 정의: 현재 상태 s에서 행동 a를 취했을 때, 다음 상태가 s'가 될 확률
  • 특성: 0과 1 사이의 값을 가지며, 특정 상태와 행동에 대한 모든 가능한 다음 상태의 전이확률 합은 1
  • 수학적 표현: P(s'|s,a) ∈ [0,1], ∑s' P(s'|s,a) = 1

이 전이확률은 시스템의 '역학(dynamics)'을 정의하며, 환경이 에이전트의 행동에 어떻게 반응하는지 알려줍니다.

2. 전이확률 행렬과 표현 방식

전이확률은 보통 3차원 행렬로 표현됩니다:

graph LR
    S[현재 상태 s] --> A[행동 a]
    A --> S'[다음 상태 s']
    S' --> P[확률 P(s'|s,a)]

예를 들어, 4x4 그리드 월드에서:

graph TD
    subgraph "4x4 Grid World"
        A((0,0)) --- B((0,1))
        B --- C((0,2))
        C --- D((0,3))
        E((1,0)) --- F((1,1))
        F --- G((1,2))
        G --- H((1,3))
        I((2,0)) --- J((2,1))
        J --- K((2,2))
        K --- L((2,3))
        M((3,0)) --- N((3,1))
        N --- O((3,2))
        O --- P((3,3))
        A --- E
        E --- I
        I --- M
        B --- F
        F --- J
        J --- N
        C --- G
        G --- K
        K --- O
        D --- H
        H --- L
        L --- P
    end

로봇이 상태 (1,1)에서 "오른쪽으로 이동" 행동을 취할 때:

  • 성공적으로 (1,2)로 이동할 확률: 0.8
  • 미끄러져 (0,1)로 이동할 확률: 0.1
  • 미끄러져 (2,1)로 이동할 확률: 0.1

따라서:

  • P((1,2) | (1,1), 오른쪽) = 0.8
  • P((0,1) | (1,1), 오른쪽) = 0.1
  • P((2,1) | (1,1), 오른쪽) = 0.1

3. 전이확률의 중요성

전이확률이 중요한 이유는 다음과 같습니다:

3.1 환경 모델링

  • 실제 환경의 역학을 수학적으로 모델링
  • 불확실성이 있는 환경에서 행동의 결과 예측
  • 에이전트가 취할 수 있는 최적의 전략 수립 근거

3.2 가치 함수 계산

전이확률은 상태 가치 함수(V(s))와 상태-행동 가치 함수(Q(s,a)) 계산에 필수적입니다:

V(s) = max_a ∑s' P(s'|s,a) [R(s,a,s') + γ·V(s')]
Q(s,a) = ∑s' P(s'|s,a) [R(s,a,s') + γ·max_a' Q(s',a')]

여기서 R(s,a,s')은 보상 함수, γ는 할인 계수입니다.

3.3 정책 최적화

최적 정책 π*(s)를 찾는 과정에서 전이확률은 핵심 요소:

π*(s) = argmax_a ∑s' P(s'|s,a) [R(s,a,s') + γ·V*(s')]

4. 전이확률과 보상의 관계

전이확률과 보상(Reward)은 MDP의 두 가지 핵심 구성 요소입니다:

  • 전이확률 P(s'|s,a): 행동의 결과로 환경이 어떻게 변화하는지
  • 보상 함수 R(s,a,s'): 특정 전이 발생 시 에이전트가 받는 즉각적인 보상
graph LR
    S[상태 s] --> A[행동 a]
    A --> S'[상태 s']
    S' --> R[보상 R]
    S -.-> P[전이확률 P]
    A -.-> P
    P -.-> S'

중요한 점은 보상이 전이확률과 별개로 정의된다는 것입니다. 같은 전이(s→a→s')가 발생하더라도 다른 문제 설정에서는 다른 보상을 받을 수 있습니다.

5. 전이확률의 추정 방법

실제 응용에서는 전이확률을 정확히 알지 못하는 경우가 많습니다. 이를 추정하는 방법:

5.1 모델 기반 접근법

  • 통계적 추정: 상태 s에서 행동 a를 취했을 때 상태 s'로 전이된 횟수를 기록하여 추정

    P(s'|s,a) ≈ Count(s,a,s') / Count(s,a)

  • 베이지안 접근법: 사전 확률 분포를 가정하고 경험을 통해 업데이트

5.2 모델 없는(Model-free) 접근법

환경 모델(전이확률과 보상)을 명시적으로 학습하지 않고 직접 가치 함수나 정책을 학습:

  • Q-학습
  • SARSA
  • 정책 경사법(Policy Gradient)

6. 실제 응용 사례

6.1 자율주행 자동차

자율주행 차량의 상태 전이 모델링:

  • 상태 s: 현재 차량 위치, 속도, 주변 차량 위치
  • 행동 a: 가속, 감속, 회전
  • 상태 s': 행동 후 변화된 차량 상태
  • P(s'|s,a): 특정 행동이 차량의 다음 상태에 미치는 영향의 확률적 모델

예시: 차량이 교차로에서 좌회전 시도 시 다음 상태 확률

  • 성공적으로 좌회전 완료: 0.85
  • 미끄러짐으로 인한 부분 회전: 0.10
  • 다른 차량 간섭으로 인한 정지: 0.05

6.2 재고 관리 시스템

  • 상태 s: 현재 재고 수준
  • 행동 a: 주문량 결정
  • 상태 s': 다음 기간의 재고 수준
  • P(s'|s,a): 수요의 불확실성을 고려한 확률 모델

예시: 현재 재고 50개, 30개 주문 시 다음 날 재고 확률

  • 재고 60-70개: 0.3 (낮은 수요)
  • 재고 40-60개: 0.5 (평균 수요)
  • 재고 20-40개: 0.2 (높은 수요)

6.3 의료 의사결정 지원

  • 상태 s: 환자의 현재 상태
  • 행동 a: 처방된 약물 또는 치료
  • 상태 s': 치료 후 환자 상태
  • P(s'|s,a): 치료 효과의 확률적 모델

7. 전이확률의 한계와 도전 과제

전이확률 모델링에는 몇 가지 주요 한계가 있습니다:

7.1 차원의 저주

상태 공간이 커지면 전이확률 테이블의 크기가 기하급수적으로 증가:

  • n개 상태, m개 행동: O(n²m) 크기의 전이확률 행렬 필요

7.2 비정상성(Non-stationarity)

시간이 지남에 따라 전이확률이 변할 수 있음:

  • 교통 패턴의 계절적 변화
  • 고객 선호도 변화

7.3 부분 관측성(Partial Observability)

완전한 상태를 관측할 수 없는 경우:

  • POMDP(Partially Observable MDP) 프레임워크 필요
  • 신념 상태(belief state)로 작업해야 함

8. 최신 연구 동향

8.1 대규모 상태 공간 처리

  • 함수 근사(Function Approximation)를 통한 전이확률 모델링
  • 딥러닝을 활용한 전이 다이나믹스 학습
  • 계층적 강화학습으로 복잡한 전이확률 분해

8.2 불확실성 모델링

  • 앙상블 방법으로 전이 모델의 불확실성 추정
  • 베이지안 신경망을 활용한 확률적 전이 모델 학습
  • 모델 기반 강화학습에서의 불확실성 고려 방법

9. 결론

전이확률 P(s'|s,a)는 지능형 에이전트 설계와 강화학습의 근간을 이루는 개념입니다. 불확실한 환경에서 행동의 결과를 확률적으로 모델링함으로써, 에이전트는 최적의 의사결정을 내릴 수 있게 됩니다.

현대적 응용에서는 전이확률을 명시적 테이블로 표현하기보다는 함수 근사나 암시적 모델을 통해 활용하는 경우가 많지만, 그 기본 개념은 여전히 중요합니다. 효과적인 전이확률 모델링을 통해 더 현실적이고 강건한 지능형 시스템을 구축할 수 있습니다.

최적의 의사결정을 위해서는 전이확률뿐만 아니라 보상 함수와의 균형 있는 고려가 필요하며, 이는 궁극적으로 불확실한 환경에서도 신뢰할 수 있는 지능형 시스템 구현의 기반이 됩니다.

Keywords

Transition Probability, 전이확률, Markov Decision Process, 마르코프 결정 과정, State Transition, 상태 전이, Reinforcement Learning, 강화학습, Dynamic Programming, 동적 계획법, Model-based RL, 모델기반 강화학습

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