EM(Expectation Maximization): 불완전 데이터에서 숨겨진 패턴을 찾아내는 확률적 접근법

EM(Expectation Maximization): 불완전 데이터에서 숨겨진 패턴을 찾아내는 확률적 접근법

• EM 알고리즘 개요
• EM 알고리즘의 핵심 원리
• EM 알고리즘 적용 순서
• EM 알고리즘의 강점
• EM 알고리즘의 한계점
• 대표적인 EM 알고리즘 응용 사례
  • 1. 가우시안 혼합 모델(GMM)
  • 2. 은닉 마르코프 모델(HMM)
  • 3. 결측 데이터 문제
• 실제 EM 알고리즘 구현 예시: 동전 던지기 문제
• EM 알고리즘의 확장과 변형
  • 1. 일반화된 EM 알고리즘(GEM)
  • 2. 확률적 EM(Stochastic EM)
  • 3. 변분 EM(Variational EM)
• EM 알고리즘의 최신 연구 동향
• 정보관리기술사 관점에서의 EM 알고리즘 응용
• EM 알고리즘 활용 시 고려사항
• Keywords

EM 알고리즘 개요

• EM(Expectation Maximization) 알고리즘은 불완전한 데이터셋에서 최대 우도 추정(Maximum Likelihood Estimation)을 수행하기 위한 반복적 방법.
• 관찰되지 않은 잠재 변수(latent variables)가 있는 확률 모델에서 매개변수 추정에 활용.
• 1977년 Dempster, Laird, Rubin이 일반화된 공식화를 제안.
• 기계학습, 컴퓨터 비전, 자연어 처리 등 다양한 도메인에서 활용.

EM 알고리즘의 핵심 원리

• 크게 두 단계로 구성된 반복적 접근 방식:

  1. E-step(Expectation): 현재 매개변수 추정치를 기반으로 관측되지 않은 변수의 기댓값 계산
  2. M-step(Maximization): E-step에서 계산된 기댓값을 사용하여 모델 매개변수를 최적화

• 수학적 표현:

  • θ: 모델 매개변수
  • X: 관측 데이터
  • Z: 잠재(관측되지 않은) 변수
  • Q(θ|θ^t): 로그 우도의 기댓값

• 반복 과정:

  1. E-step: Q(θ|θ^t) = E_Z[log P(X,Z|θ) | X, θ^t]
  2. M-step: θ^(t+1) = argmax_θ Q(θ|θ^t)
  3. 수렴할 때까지 반복

EM 알고리즘 적용 순서

1. 초기 매개변수 값 θ^0 설정
2. E-step 수행: 현재 매개변수 θ^t를 기반으로 숨겨진 변수의 사후 확률 계산
3. M-step 수행: E-step에서 계산된 사후 확률을 이용해 로그 우도를 최대화하는 새로운 매개변수 θ^(t+1) 계산
4. 수렴 조건 확인: 매개변수 변화량이 충분히 작거나 최대 반복 횟수에 도달하면 종료, 아니면 2단계로 돌아가 반복

graph TD
    A[초기 매개변수 설정] --> B[E-step: 잠재 변수의 기댓값 계산]
    B --> C[M-step: 매개변수 최적화]
    C --> D{수렴 여부 확인}
    D -->|아니오| B
    D -->|예| E[최종 매개변수 반환]

EM 알고리즘의 강점

• 불완전 데이터 처리: 결측치가 있거나 일부 변수가 관측되지 않은 데이터셋에서 효과적.
• 계산 효율성: 직접적인 최대 우도 추정이 어려운 경우에도 반복적 접근으로 해결 가능.
• 이론적 보장: 각 반복마다 로그 우도가 단조 증가하여 지역 최적해 수렴 보장.
• 유연성: 다양한 확률 모델에 적용 가능한 일반적인 프레임워크 제공.

EM 알고리즘의 한계점

• 지역 최적해 문제: 글로벌 최적해를 보장하지 않고, 초기값에 따라 결과가 달라질 수 있음.
• 수렴 속도: 평평한 우도 함수의 경우 수렴이 매우 느릴 수 있음.
• 모델 선택 문제: 적절한 잠재 변수 개수나 모델 복잡성 선택의 어려움.
• 계산 복잡성: 고차원 데이터나 복잡한 모델의 경우 계산 부담이 클 수 있음.

대표적인 EM 알고리즘 응용 사례

1. 가우시안 혼합 모델(GMM)

• 여러 가우시안 분포의 가중 합으로 데이터 분포를 모델링하는 방법.
• 클러스터링 문제에서 k-means의 확률적 일반화 버전으로 볼 수 있음.
• EM 적용 과정:
  • E-step: 각 데이터 포인트가 각 클러스터에 속할 확률(책임) 계산
  • M-step: 클러스터 평균, 공분산, 가중치 업데이트

flowchart LR
    A[데이터 포인트] --> B[E-step: 클러스터 소속 확률 계산]
    B --> C[M-step: 클러스터 파라미터 업데이트]
    C --> D{수렴?}
    D -->|아니오| B
    D -->|예| E[최종 GMM 파라미터]

2. 은닉 마르코프 모델(HMM)

• 관측 가능한 출력 시퀀스를 생성하는 숨겨진 상태 시퀀스를 모델링.
• 음성 인식, 자연어 처리, 생물정보학 등 시계열 데이터 분석에 활용.
• EM 적용(Baum-Welch 알고리즘):
  • E-step: Forward-Backward 알고리즘으로 상태 전이 확률 계산
  • M-step: 전이 확률, 방출 확률 업데이트

3. 결측 데이터 문제

• 데이터셋에 결측값이 있을 때 EM을 통한 매개변수 추정.
• E-step: 현재 매개변수로 결측값의 조건부 기댓값 계산
• M-step: 결측값이 채워진 데이터로 매개변수 업데이트

실제 EM 알고리즘 구현 예시: 동전 던지기 문제

• 시나리오: 두 개의 편향된 동전(A, B)이 있고, 여러 번의 실험에서 어떤 동전을 사용했는지 모르는 상태에서 앞면이 나온 횟수만 관찰.
• 목표: 각 동전의 앞면이 나올 확률(θA, θB) 추정.

import numpy as np

# 가상의 실험 데이터: [시행 횟수, 앞면 횟수]
experiments = np.array([
    [10, 5],  # 10번 던져서 5번 앞면
    [20, 9],  # 20번 던져서 9번 앞면
    [15, 12], # 15번 던져서 12번 앞면
    [25, 17]  # 25번 던져서 17번 앞면
])

# 초기 매개변수 설정
theta_A = 0.6  # 동전 A의 앞면 확률 초기값
theta_B = 0.4  # 동전 B의 앞면 확률 초기값

# EM 알고리즘 구현
for iteration in range(100):  # 최대 100번 반복
    # E-step: 각 실험이 동전 A일 확률 계산
    p_A = np.zeros(len(experiments))

    for i, (n, h) in enumerate(experiments):
        # 동전 A를 사용했을 확률
        like_A = (theta_A ** h) * ((1 - theta_A) ** (n - h))
        # 동전 B를 사용했을 확률
        like_B = (theta_B ** h) * ((1 - theta_B) ** (n - h))
        # 베이즈 정리로 동전 A일 사후 확률 계산
        p_A[i] = like_A / (like_A + like_B)

    # M-step: 매개변수 업데이트
    # 각 동전의 앞면 확률 업데이트
    sum_p_A = np.sum(p_A)
    sum_p_B = len(experiments) - sum_p_A

    # 동전 A의 앞면 확률 업데이트
    theta_A_new = np.sum(p_A * experiments[:, 1]) / np.sum(p_A * experiments[:, 0])
    # 동전 B의 앞면 확률 업데이트
    theta_B_new = np.sum((1 - p_A) * experiments[:, 1]) / np.sum((1 - p_A) * experiments[:, 0])

    # 수렴 확인
    if abs(theta_A - theta_A_new) < 1e-6 and abs(theta_B - theta_B_new) < 1e-6:
        break

    theta_A, theta_B = theta_A_new, theta_B_new

print(f"추정된 동전 A의 앞면 확률: {theta_A:.4f}")
print(f"추정된 동전 B의 앞면 확률: {theta_B:.4f}")

EM 알고리즘의 확장과 변형

1. 일반화된 EM 알고리즘(GEM)

• M-step에서 완전한 최적화 대신 우도 함수를 증가시키는 방향으로만 매개변수 업데이트.
• 계산 복잡성이 높은 경우 유용한 접근법.

2. 확률적 EM(Stochastic EM)

• E-step에서 조건부 분포에서 잠재 변수를 샘플링하여 근사.
• 대규모 데이터셋에서 계산 효율성 개선.

3. 변분 EM(Variational EM)

• 잠재 변수의 복잡한 사후 분포를 더 단순한 분포로 근사하는 변분 추론 기법 적용.
• 복잡한 모델에서 계산 가능한 대안 제공.

EM 알고리즘의 최신 연구 동향

• 딥 러닝과의 결합: 심층 생성 모델(VAE, 심층 GMM 등)에서 EM의 원리 활용.
• 온라인 EM: 스트리밍 데이터에 적용 가능한 온라인 버전 개발.
• 베이지안 확장: EM 알고리즘의 베이지안 변형을 통해 불확실성 정량화.
• 분산 EM: 대규모 분산 시스템에서 효율적으로 실행할 수 있는 알고리즘 구현.

정보관리기술사 관점에서의 EM 알고리즘 응용

• 고객 세그먼테이션: 잠재 클래스 기반 고객 그룹화를 통한 마케팅 전략 수립.
• 이상 탐지(Anomaly Detection): 정상 행동 패턴 모델링을 통한 비정상 행동 식별.
• 개인화 추천 시스템: 사용자의 잠재 선호도 추정을 통한 콘텐츠 추천.
• 불완전 데이터 처리: 기업 데이터베이스의 결측치 추정 및 데이터 품질 개선.
• 시계열 예측: 은닉 마르코프 모델을 활용한 경제 지표나 시스템 상태 예측.

EM 알고리즘 활용 시 고려사항

• 초기값 선택: 다양한 초기값으로 여러 번 실행하여 최적 결과 도출.
• 모델 복잡성 선택: 교차 검증을 통한 적절한 클러스터 수나 모델 복잡성 결정.
• 수렴 기준 설정: 너무 엄격한 기준은 불필요한 계산을, 너무 느슨한 기준은 부정확한 결과를 초래.
• 계산 효율성: 대규모 데이터셋에서는 근사적 방법이나 미니배치 접근법 고려.
• 해석 가능성: 특히 비즈니스 의사결정에 활용 시 결과의 해석 가능성 확보.

EM 알고리즘은 불확실성과 불완전 데이터가 존재하는 실제 비즈니스 환경에서 강력한 도구가 될 수 있으며, 정보관리기술사는 이러한 통계적 학습 방법의.원리와 한계를 이해하고 적절한 문제 도메인에 적용하는 능력이 필요합니다.

Keywords

Expectation Maximization, 기댓값 최대화, Maximum Likelihood Estimation, 최대 우도 추정, latent variables, 잠재 변수, Gaussian Mixture Model, 가우시안 혼합 모델, Hidden Markov Model, 은닉 마르코프 모델